PageRank是一种经典的图模型算法，开始提出时用于解决网页重要程度的排序问题，后来通过对算法的改进，也提出一些用于推荐、社会网络分析、自然语言处理等领域的变体算法，比如用于文本摘要的TextRank算法。
PageRank算法的名字一语双关，既隐含了算法提出者之一 Larry Page 的名字，也隐含了算法的提出是为了解决网页排序的问题
其优缺点为：
优点：
- 是一个与查询无关的静态算法，所有网页的PageRank值通过离线计算获得
- 有效减少在线查询时的计算量，极大降低了查询响应时间。
缺点：
- 人们的查询具有主题特征，PageRank忽略了主题相关性，导致结果的相关性和主题性降低
- 旧的页面等级会比新页面高。因为即使是非常好的新页面也不会有很多上游链接，除非它是某个站点的子站点。
1. 模型推导
1.1. 基本定义
PageRank模型就是一个含有 \(n\) 个节点的有向图随机游走模型，可以看做是一个一阶马尔科夫链，对此，先进行如下定义
所有节点共享同一个转移矩阵 \(M=[m_{ij}]_{n \times n}\) ，其具有如下性质 \[ m_{ij} \geq 0 \\ \sum_{i}^n m_{ij}=1 \] 其值计算为，若节点 \(j\) 有 \(k\) 个有向边连出，且节点 \(i\) 是其中一个，则 \(m_{ij} = 1/k\)，否则，\(m_{ij}=0\)
时刻 \(t\) 的节点访问其他节点的概率分布，即状态分布为 \(R_t=[\text{PR}(v_i)]_n^T\) ，其中 \(\text{PR}(v_i)\) 为节点 \(v_i\) 的PageRank值，其具有如下性质 \[ \text{PR}(v_i) \geq 0 \\ \sum_{i}^n \text{PR}(v_i) = 1 \] 一般初始为 \(\text{PR}(v_i) = 1/n\)
1.2. 学习策略
PageRank的计算基于以下两个基本假设：
- 数量假设：在图模型中，如果一个节点接收到的其他节点指向的入链数量越多，那么这个节点越重要。
- 质量假设：指向节点A的入链质量不同，质量高的节点会通过链接向其他节点传递更多的权重。所以越是质量高的节点指向节点A，则节点A越重要。
利用以上两个假设，PageRank算法刚开始赋予每个节点相同的重要性得分，通过迭代递归计算来更新每个节点的PageRank得分，直到得分稳定为止。 PageRank计算得出的结果是网页的重要性评价，这和用户输入的查询是没有任何关系的，即算法是主题无关的。假设有一个搜索引擎，其相似度计算函数不考虑内容相似因素，完全采用PageRank来进行排序，那么这个搜索引擎对于任意不同的查询请求，返回的结果都是相同的，即返回PageRank值最高的页面。
1.2.1. 理想情况
首先，我们来推导理想状态下的PageRank模型的表示形式
理想状态下，PageRank模型应该是一个强连通且非周期的有向图，其状态分布矩阵满足 \(R_{t+1} = M R_t\)
根据马尔科夫链的遍历定理，若马尔可夫链是不可约、非周期且正常返的，则该马尔可夫链有唯一平稳分布，并且转移概率的极限分布是马尔可夫链的平稳分布
假设有向图初始状态分布为 \(R_0\)，转移矩阵为 \(M\) ，不断进行 \(R_t = M^tR_0\) 迭代计算，直到 \(M^tR_0\) 不变时，则算法收敛，此时其平稳分布满足 \(MR=R\)，每个节点的PageRank值满足 \[ \text{PR}(v_i) = \sum_{v_j \in M(v_i)} \frac{\text{PR}(v_i)} {L(v_j)} \] 其中，\(M(v_i)\) 表示指向节点 \(v_i\) 的节点集合，\(L(v_j)\) 表示节点 \(v_j\) 的连出的有向边的个数
1.2.2. 一般情况
但是，实际情况下，有向图通常并不满足遍历条件，例如，大部分的网页并没有连接出去的链接，即不连通的，于是，我们对PageRank的计算进行一些修正，其平稳分布应满足 \[ R = dMR + \frac{1-d}{n}\vec1 \] 其中，\(d(0\leq d\leq1)\) 为阻尼因子，一般取 \(d=0.85\)
上式可以看做是一个平滑修正，其现实含义是，用户到达某页面后，会有 \(1-d\) 的概率随机跳转到新的页面上。这样，就不会有节点的PageRank值为0了，此时，每个节点的PageRank值满足 \[ \text{PR}(v_i) = d \left(\sum_{v_j \in M(v_i)} \frac{\text{PR}(v_i)} {L(v_j)} \right) + \frac{1-d}{n} \]
1.3. 学习算法
PageRank的学习算法有迭代算法、幂法、代数算法等，最常用的为幂法。
1.3.1. 迭代算法
PageRank的迭代算法的优点是非常简单，即直接按照其定义计算即可，但其缺点是迭代次数可能会很多。
其算法流程如下：
Init: 转移矩阵 \(M\)，阻尼因子 \(d\) ，初始向量 \(R_0\)
Repeat: \(R_{t+1} = dMR_t+\frac{1-d}{n}\vec1\)
Until: \(R_{t+1} - R_{t} \leq \delta\)
Output: \(\text{PR}(v_i)\)
1.3.2. 幂法
幂法是一种近似计算矩阵的主特征值和主特征向量的方法。主特征值即绝对值最大的特征值，主特征向量即其对应的特征向量。
将PageRank模型的表示形式表示为 \[ R = \left( dM + \frac{1-d}{n}\vec E \right)R = AR \] 其中，\(\vec E\) 是所有元素为1的n阶方阵。
根据Perron-Frobenius定理，一般PageRank的向量 \(R\) 是矩阵 \(A\) 的主特征向量，主特征值为1，所以可以使用幂法来近似计算。
这里省略幂法的推导过程，直接给出相关计算的结论
对于一个满足 \(x_k = Ax_{k-1}\)的包含 \(k\) 个元素的 \(n\) 维向量序列 \(\{x_0,\cdots,x_k\}\)，设 \(A\) 的主特征值为 \(\lambda_1\) ，主特征向量为 \(u_1\)
则，当 \(k \rightarrow \infty\) 时，有 \[ x_k = b_1\lambda_1^k[u_1+\varepsilon] \] 其中，\(b_1\) 是一个常量，\(\varepsilon\) 是一个无穷小量，实际计算时，一般取一个较小的值。
于是，有 \[ x_k \approx b_1\lambda_1^ku_1 \\ x_{k+1} \approx b_1\lambda_1^{k+1}u_1 \] 得 \[ \lambda_1 \approx \frac{x_{k+1}}{x_k} \] 实际计算时，为了避免出现绝对值过大或过小的情况，通常每步迭代后需要进行如下的规范化 \[ y_{t+1} = Ax_t \\ x_{t+1} = \frac{y_{t+1}}{||y_{t+1}||_{\infty}} \] 其中，\(||x||_{\infty}=\max\{|x_1|,\cdots,|x_n|\}\) 是向量的无穷范数
由于 \(R\) 的主特征值为1，即当\(||x_{t+1}-x_{t}||<\varepsilon\) 时，算法收敛，此时 \(R \approx x_t\)。
最后对 \(R\) 进行规范化处理，使其表示为概率分布即可。
最终的算法流程整理如下：
Init: 转移矩阵 \(M\)，阻尼因子 \(d\) ，初始向量 \(x_0\)，计算精度 \(\varepsilon\)，一般转移矩阵 \(A = dM+\frac{1-d}{n}\vec E\)
Repeat: \[ y_{t+1} = Ax_t \\ x_{t+1} = \frac{y_{t+1}}{||y_{t+1}||_{\infty}} \]
Until: \(||x_{t+1}-x_{t}||<\varepsilon\)
Output: \(R = \frac{x_{t}}{\sum_i^n x_i}\)
2. references
《统计学习方法》20章，李航
《数学之美》10章，吴军
