1. 相关的概念

混沌是一个由非线性效应引起的一个相当独特的现象，具有对初值的敏感性、无周期性、长期不可预测性以及分形性和普适性等特点。

吸引子是混沌理论中的一个重要的组成成分。

吸引子（Attractor）是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。

系统是一种数学模型，是一种用以描述自然界及社会中各类事件的，由一些变量及数个方程构成的一种数学模型。

根据系统性质的不同，系统又分为决定性的系统、随机系统、封闭系统、开放系统、线性系统、非线性系统、稳定系统、简单系统、复杂系统等。

决定性系统是一种所有状态都是确定的系统，其中的代表就是著名的“拉普拉斯妖”。在这种系统中，会假设存在一个“智能者”，只要给定一个现在的状态，就可以计算出宇宙中的过去和未来。

线性系统是一种满足线性叠加原理的系统，即，\(F(\vec{X_1},\vec{X_2},\vec{X_3},\cdots)=F(\vec{X_1}) + F(\vec{X_2}) + F(\vec{X_3}) + \cdots\)，这里的F应该看成是一种映射关系，而非函数关系。

非线性系统则是一种与线性系统相对的系统，系统的表现形式往往是一个常微分方程，\(\frac{d\vec{X}}{dt}=\vec{A}\cdot\vec{X}\)，这往往是不能用解析方法进行求解的

吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子。

2. 平庸吸引子

平庸吸引子，又称经典吸引子，或者正常吸引子。

根据系统最终的状态，在相空间中，有稳定点（平衡）、极限环（周期运动）和极限环面（概周期运动）三种状态。

在数学与物理学中，相空间是一个用以表示出一系统所有可能状态的空间；系统每个可能的状态都有一相对应的相空间的点。相空间是一个六维假想空间，其中动量和空间各占三维。

以正在摆动的单摆为例来说明上面这三种状态：

2.1. 稳定点

如果没有外部能量输入，因为阻尼的影响，单摆最终会停下来。系统的最终状态是相空间中的一个点，这是吸引子的稳定点的状态。

这种状态是一个0维空间，是一种平衡的状态。

2.2. 极限环

如果现在有固定外部能量输入，单摆最终不停地做重复运动。系统的最终状态是一种环状的周期运动，这是吸引子的极限环的状态。

这种状态是一个1维空间，是一种周期的状态。

2.3. 极限环面

如果现在是两个单摆耦合在一起形成一个“双摆”，系统就具有了两个振动频率，如果这两个频率比值是一个无理数时，两个点的运动轨道最终会被限制在一个面包圈上，且每个点的自身轨迹永远不会重合在一起。系统的最终状态是一种环面的“类周期”运动，这是吸引子的极限环面的状态。

这种状态是一个2维空间，是一种概周期的状态。

下面是一个模拟双摆的轨迹图

图片来源：https://www.cnblogs.com/WhyEngine/p/4315612.html

还有一种经典的现象也属于极限环面，这就是三体问题。三体问题就是三颗相互影响的行星的轨迹的问题。下面是一个模拟三体的轨迹图

图片来源：https://www.cnblogs.com/WhyEngine/p/4315526.html

3. 奇异吸引子

不属于平庸吸引子的吸引子称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态。

奇异吸引子一般都具有一个常微分方程，最经典的就是洛伦兹吸引子（Lorenz oscillator），其常微分方程如下 \[ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \sigma (y-x) \\ \frac{dy}{dt} &= x(\rho - z) - y \\ \frac{dz}{dt} &= xy - \beta z \end{aligned} \] 上面的方程原本一个天气预报模型，有上百个参数，洛伦兹将其简化至只有3个参数，其中的\(\rho\)又被称为瑞利数，与流体的浮力及粘滞度等性质有关。这三个参数的取值为\(\sigma = 10, \rho = 28, \beta = \frac{8}{3}\)，其图像如下

lorenz